BAB 8: RETURN DAN RISIKO: PENDAHULUAN
BAB 8
RETURN DAN RISIKO:
PENDAHULUAN
Konsep risiko dan return dipopulerkan oleh Markowitz (1955).
Markowitz memperkenalkan model yang disebut sebagai two-parameter model, yang
intinya mengatakan bahwa investor seharusnya memfokuskan pada dua parameter:
(1) return atau tingkat keuntungan yang diharapkan dari suatu asset, dan (2)
risiko yang dilihat melalui standar deviasi return aset tersebut. Konsep
tersebut menjadi tulang punggung teori investasi, dan juga teori keuangan.
Karena itu dia dikenal sebagai bapak teori portofolio. Dan karena jasanya, ia
memperoleh hadiah Nobel bidang ekonomi pada tahun 1990.
1.
RISIKO
DAN RETURN: PERHITUNGAN DASAR
1.1
Perhitungan
Return
Formula yang lebih
umum untuk menghitung return adalah sebagai berikut
Return = {[(Pt – Pt-1) + Dt] / Pt–1} x
100%
Dimana
Pt = harga atau nilai pada periode t
Pt-1 =
harga atau nilai pada nilai sebelumnya (t-1)
Dt = dividen yang dibayarkan pada periode t
Periode tersebut bisa harian, bulanan, atau
tahunan.
1.2
Perhitungan
Tingkat Keuntungan (Return) yang Diharapkan dan Risiko
Risiko bisa didefinisikan
sebagai kemungkinan penyimpangan dari hasil yang diharapkan. Kita bisa
menggunakan standar deviasi yang menghitung dispersi (penyimpangan) dari hasil
yang diharapkan. Semakin besar standar deviasi tingkat keuntungan suatu aset,
semakin tinggi risiko aset tersebut. Semakin tinggi risiko suatu aset, semakin
tinggi tingkat keuntungan yang diharapkan dari aset tersebut. Dalam pasar yang
efisien, hal semacam itu yang akan terjadi. Tetapi jika pasar tidak efisien,
masih ada ketidaksempurnaan pasar, kita bisa mengharapkan aset yang mempunyai
tingkat keuntungan yang tinggi tetapi mempunyai risiko yang rendah.
Secara umum, formula untuk menghitung tingkat keuntungan yang
diharapkan dan risiko (standar deviasi) dari tingkat keuntungan tersebut adalah
sebagai berikut,
E(R) = ∑ pi Ri
σR2 = ∑ pi (Ri – E(R))2
σR = (σR2)1/2
Dimana:
E(R)
= tingkat keuntungan yang diharapkan
pi = probabilitas untuk kondisi/scenario i
Ri
= return atau tingkat keuntungan
pada scenario i
σR = Standar deviasi return (tingkat keuntungan)
σR2
= Varians return (tingkat
keuntungan)
Contoh:
Perhitungan TIngkat
Keuntungan yang Diharapkan
Kondisi Perekonomian
|
Probabilitas
|
Astra
(A)
|
Niaga
(B)
|
Sangat Baik
|
0,20
|
20%
|
2.5%
|
Baik
|
0,20
|
10%
|
4%
|
Normal
|
0,20
|
7.5%
|
6%
|
Jelek
|
0,20
|
5%
|
6.5%
|
Sangat Jelek
|
0,20
|
2.5%
|
7%
|
Tingkat keuntungan
yang diharapkan
|
9%
|
5.2%
|
Perhatikan
bahwa probabilitas berjumlah 1 (0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 = 1).
Ada
dua hukum probabilitas: 1) Jumlah probabilitas harus sama dengan 1, dan 2)
Nilai probabilitas harus lebih besar atau sama dengan nol.
Tingkat
keuntungan asset A dan asset B:
E(RA) = 0.20 (20%) + 0.20 (10%) + 0.20 (7.5%) + 0.20
(5%) + 0.20 (2.5%)
= 9%
E(RB) = 0.20 (2.5%) + 0.20 (4%) + 0.20 (6%) + 0.20
(6.5%) + 0.20 (7%)
= 5.2%
Risiko
asset A dan B bisa dihitung dengan menghitung standar deviasi return masing –
masing saham.
σA2 = 0.20 (20 - 9)2
+ 0.20 (10 - 9)2 + 0.20 (7.5 - 9)2 + 0.20 (5 - 9)2
+ 0.20 (2.5 - 9)2
= 36.5
σA = (36.5)1/2 = 6.04 %
σB2 = 0.20 (2.5–5.2)2
+ 0.20 (4-5.2)2 + 0.20 (6-5.2)2 + 0.20 (6.5-5.2)2
+ 0.20 (7-5.2)2
= 2.86
σB = (2.86)1/2 = 1.69 %
2.
RETURN
DAN RISIKO DALAM KONTEKS PORTOFOLIO
2.1
Tingkat
Keuntungan yang Diharapkan
Portofolio adalah gabungan dari dua aset atau lebih. Tingkat keuntungan
portofolio merupakan rata-rata tertimbang dari tingkat keuntungan aset
individualnya. formula tingkat keuntungan yang diharapkan untuk suatu
portofolio bisa dituliskan sebagai berikut.
E(RP) = ∑ Xi E(Ri)
Dimana:
E(RP) = tingkat keuntungan yang diharapkan untuk
portofolio
Xi = proporsi (bobot) untuk asset
individual i
E(Ri) = tingkat keuntungan yang diharapkan untuk
asset individual i
2.2 Risiko Portofolio
a. Kovariansi Dua Aset
Risiko portofolio tidak hanya merupakan rata-rata tertimbang
dari risiko individualnya. Risiko (varians) portofolio, untuk portofolio dengan
dua aset, bisa dihitung sebagai berikut ini.
σP2 = XA2 σA2
+ XB2 σB2 + 2 XA XB
σAB
Dimana:
XA dan XB = proporsi investasi untuk asset A dan
asset B
σA2
dan σB2 =
varians return asset A dan return asset B
σAB = kovarians return asset A dan
return asset B
Dari term-term di atas, hanya term σAB (kovarians
return aset A dengan B) yang belum kita bicarakan. Kovarians return dua aset
mengukur arah pergerakan dua aset tersebut.
Kovarians antar dua aset
dihitung dengan formula sebagai berikut ini.
σAB = ∑ pi (RAi – E(RA))
(RBi – E(RB))
Dimana:
pi = Probabilitas untuk skenario
i
RAi, RB = Return aset A dan B untuk
skenario i
E(RA), E(RB)
= Expected return untuk aset A dan aset
B
Risiko portofolio yang
lebih rendah dibandingkan dengan rata-rata tertimbang risiko individualnya
menunjukkan adanya manfaat diversifikasi. Manfaat diversifikasi tersebut
diperoleh karena kovarians yang negatif (arah pergerakan yang berlawanan arah)
antara aset A dengan B. Jika korelasi antara dua aset lebih kecil dari satu
(korelasi akan dibicarakan pada bagian berikutnya), maka akan ada manfaat
penurunan risiko melalui diversifikasi. Risiko mempunyai nilai antara +1 sampai
-1 (inklusif). Semakin kecil nilai korelasi (misal -1), maka potensi penurunan
risiko semakin tinggi.
b. Koefisiensi Korelasi
Meskipun kovarians bisa memberi gambaran arah pergerakan dua
aset, tetapi angka kovarians sensitif terhadap unit pengukuran. Koefisien
tersebut bisa dihitung sebagai berikut ini.
σAB = ΓAB σA σA atau ΓAB
= σAB / σA σB
Dimana:
ΓAB = Korelasi antara return aset A dengan
return aset B
Korelasi mempunyai angka
antara –1 sampai +1 inklusif (-1 < = ΓAB < = +1). Korelasi merupakan
kovarians yang distandardisir dengan standar deviasi masing-masing aset.
Korelasi yang positif menunjukkan hubungan yang searah antara dua aset
tersebut, sementara korelasi yang negatif menunjukkan hubungan yang berlawanan
arah antara dua aset tersebut. Semakin mendekati angka satu (positif atau
negatif), semakin tinggi kaitan antara dua aset tersebut, baik kaitan positif
(jika mendekati angka +1) ataupun kaitan negatif (jika mendekati angka –1).
Koefisien korelasi bisa dilihat sebagai pengukur arah pergerakan dua aset yang
distandardisir (dalam hal distandardisir melalui standar deviasi).
2.3 Efek Diversifikasi
Kunci dalam penurunan risiko portofolio adalah kovarians (atau
koefisien korelasi) antar aset. Koefisien korelasi yang semakin mendekati
negatif satu mempunyai potensi yang lebih besar untuk menurunkan risiko
portofolio. Secara umum koefisien korelasi antar saham mempunyai tanda positif
dan relatif kecil. Koefisien yang semacam itu sudah cukup baik untuk menurunkan
risiko portofolio. Hanya jika koefisien korelasi antara dua aset sama dengan
satu (sempurna searah), maka diversifikasi tidak mempunyai efek penurunan
risiko. Dalam situasi ini, risiko portofolio merupakan rata-rata tertimbang
dari risiko aset individualnya.
Secara umum, jika jumlah aset dalam portofolio ditambah (misal
ditambah secara random), ada kecenderungan risiko portofolio tersebut semakin
mengecil. Semakin ditambah jumlah asetnya, penurunan risiko portofoliio semakin
kecil. Dengan kata lain, ririko akan semakin menurun dengan tingkat penurunan
yang semakin melambat, dengan ditambahnya jumlah asset dalam prtofolio. Gambar
berikut ini menunjukkan situasi semacam itu.
Risiko Total, Sistematis, dan Tidak Sistematis
Gambar tersebut menunjukkan bahwa risiko portofolio, yang
dihitung dengan standar deviasi, menunjukkan penurunan yang semakin melambat,
dengan ditambahnya jumlah sekuritas. Gambar tersebut menunjukkan bahwa untuk
risiko total, ada sebagian risiko yang bisa dihilangkan melalui diversifikasi.
Tetapi ada sebagian lagi yang tidak bisa dihilangkan melalui diversifikasi.
Risiko yang bisa dihilangkan disebut sebagai risiko tidak sistematis (risiko
pasar), sedangkan risiko yang tidak bisa dihilangkan disebut sebagai risiko
sistematis.
Berapa banyak sekuritas
yang diperlukan untuk secara efektif bisa menghilangkan risiko tidak
sistematis? Beberapa studi menunjukkan bahwa jumlah sekuritas sekitar 15-20
bisa dipakai untuk melakukan diversifikasi yang efektif.
Risiko sistematis
dihitung melalui formula:
βi =
σiM / σ2M
Dimana:
βi = beta atau risiko sistematis asset i
σiM = kovarians
antara return asset i dengan return pasar
σ2M = varians return
pasar
3. SET YANG EFISIEN
Tingkat
keuntungan portofolio yang diharapkan merupakan rata-rata terimbang dari
tingkat keuntungan aset individualnya. Tingkat keuntungan tersebut tidak
tergantung dari korelasi antara dua aset tersebut.
3.1 Korelasi = +1 (Positif Sempurna)
Misalkan korelasi A dengan B (TAB) adalah +1, risiko
portofolio dapat dituliskan sebagai berikut:
σp2 = XA2 σA2
+ XB2 σB2 + 2 XA XB
σAB atau
σp2 = XA2 σA2
+ XB2 σB2 + 2 XA XB
σAB ΓAB σA σA
karena
ΓAB = +1, kita bisa meringkaskan formula di atas menjadi:
σp2 = XA2 σA2
+ XB2 σB2 + 2 XA XB
σA σA atau
σp2 = (XA σA + XB
σB)2
σp = (XA σA + XB
σB)
Persamaan di atas menunjukkan jika korelasi
antara aset A dengan aset B = +1, risiko portofolio merupakan ratarata
tertimbang dari risiko aset individual. Dengan kata lain, diversifikasi dalam
situasi ini tidak memberikan manfaat, karena risiko portoflio tidak bisa lebih
rendah dari rata-rata tertimbang risiko aset individualnya.
Tabel berikut ini menunjukkan hasil
perhitungan untuk risiko dan tingkat keuntungan yang diharapkan untuk
portofolio dengan komposisi yang berbeda – beda tersebut
Risiko dan Return dengan Korelasi = 1
|
XA
|
XB
|
E(Rp)
|
σp
|
|
100
|
0
|
9
|
6.04
|
|
80
|
20
|
8.25
|
5.17
|
|
60
|
40
|
7.5
|
4.3
|
|
50
|
50
|
7.125
|
3.865
|
|
40
|
60
|
6.75
|
3.43
|
|
20
|
80
|
6
|
2.56
|
|
0
|
100
|
5.25
|
1.69
|
3.2 Korekasi = -1 (Negatif Sempurna)
Misalkan korelasi antara
A dengan B (ΓAB) adalah -1, risiko portofolio bisa dituliskan
sebagai berikut ini.
σp2 = XA2 σA2
+ XB2 σB2 + 2 XA XB
(-1) σA σB atau
σp2 = XA2 σA2
+ XB2 σB2 - 2 XA XB
(-1) σA σB
σp2 = (XA σA - XB
σB)2
σp = (XA σA - XB
σB) atau (XA σA - XB
σB)
σp = - (XA σA - XB
σB) atau - (XA σA - XB
σB)
Perhatikan
bahwa karena risiko selalu bertanda positif (tidak ada risiko yang negatif,
minimal adalah nol), maka risiko di atas bisa disingkat menjadi:
σp = Nilai absolut (XA σA
- XB σB)
Risiko dan Return dengan Korelasi = -1
|
XA
|
XB
|
E(Rp)
|
σp
|
|
100
|
0
|
9
|
6.040
|
|
80
|
20
|
8.25
|
4.494
|
|
60
|
40
|
7.50
|
2.948
|
|
50
|
50
|
7.125
|
2.175
|
|
40
|
60
|
6.75
|
1.402
|
|
20
|
80
|
6
|
0.144
|
|
21
|
79
|
6.04
|
0.067
|
|
0
|
100
|
5.25
|
1.690
|
3.3 Korelasi = 0 atau Tidak Ada Korelasi
Misalkan korelasi antara A dengan B (ΓAB) adalah 0, risiko
portofolio bisa dituliskan sebagai berikut ini.
σP2 = XA2 σA2 + XB2 σB2 + 2 XA XB (0) σA σB atau
σP2 = XA2 σA2 + XB2 σB2
σP = [XA2 σA2 + XB2 σB2] 1/2
Persamaan di atas tidak bisa disederhanakan lagi.
Risiko dan Return dengan Korelasi = 0
|
XA
|
XB
|
E(Rp)
|
σp
|
|
100
|
0
|
9
|
6.04
|
|
80
|
20
|
8.25
|
4.85
|
|
60
|
40
|
7.50
|
3.69
|
|
50
|
50
|
7.13
|
3.14
|
|
40
|
60
|
6.75
|
2.63
|
|
20
|
80
|
6
|
1.82
|
|
0
|
100
|
5.25
|
1.69
|
·
Gambar Risiko dan Return
Return dan risiko portofolio dengan komposisi dan korelasi yang
berbeda-beda tersebut bisa kita plot seperti terlihat dalam gambar berikut ini.
Gambar tersebut menunjukkan bahwa jika korelasi = 0, maka return dan risiko
merupakan rata-rata tertimbang dari return dan risiko aset individualnya. Jika
korelasi = -1, terbentuk dua garis, yaitu dari titik A sampai titik dimana
risiko = 0, sampai titik B. Jika korelasi = 0, maka garis yang ditengah, antara
garis untuk korelasi +1 dengan korelasi –1, akan terbentuk. Jika korelasi
antara dua aset diantara –1 dengan +1, maka kurva plot tingkat keuntungan
dengan standar deviasi akan berada diantara kurva plot untuk korelasi –1 dengan
+1. Secara umum, jika korelasi semakin mendekati –1, maka garis yang terbentuk
akan semakin mendekati garis –1.
Plot Risiko dan Return dengan Korelasi +1, -1,
dan 0
3.4 Perhitungan Lebih Lanjut
Karena risiko = 0, maka σP = 0, dan
XA + XB = 1 (karena total proporsi adalah 100%),
persamaan di atas bisa ditulis sebagai berikut ini.
0 =
( XA σA − ( 1 – XA ) σB )
0 =
( XA σA − σB + XA σB )
0 =
XA ( σA + σB ) - σB
XA =
σB / ( σA + σB )
Berikut ini perhitungan untuk mencari komposisi yang bisa
menghasilkan risiko yang minimum, jika korelasi = 0.
σP2 = [XA2
σA2 + XB2 σB2
]
σP2 = [XA2
σA2 + (1 – XA)2 σB2
]
σP2 = [XA2
σA2 + (1 – 2XA + XA2) σB2
]
σP2 = [XA2
σA2 + σB2 – 2 XA σB2
+ XA2 σB2 ]
σP2 akan mencapai titik minimum jika
turunan pertama dari persamaan di atas sama dengan nol. Dengan kata lain,
ϑ σP2 / ϑ XA = 0
= 2 XA σA2 – 2 σB2 + 2 XA σB2 = 0
Setelah melakukan beberapa penyederhanaan,
diperoleh,
XA = σB2/
( σA2 + σB2 )
Jika korelasi antara dua aset bukan merupakan
titik ekstrim (-1, 0, atau +1), kita juga bisa menghitung komposisi portofolio
yang menghasilkan risiko paling kecil sebagai berikut.
σP2
= XA2 σA2 + (1 – XA)2
σB2 + 2 XA (1 – XA) σAB
σP2
= XA2 σA2 + σAB - 2 XA σB2
+ XA2 σAB
+ 2 XA σAB + 2 XA2 σAB
Risiko mencapai titik minimum jika turunan
pertama dari persamaan di atas sama dengan nol.
ϑ σP2 / ϑ XA = 0
= 2 XA σA2 - 2 σB2 + 2 XA
σB2 + 2 σAB + 4 XA σAB
XA ( σA2 + σB2 - 2 σAB ) = σB2 - σAB
XA = ( σB2 - σAB ) / ( σA2 + σB2 - 2 σAB )
XB = 1 - XA
3.5 Set yang Efisien untuk Portofolio dengan Lebih
dari Dua Aset
Secara umum, korelasi antar aset biasanya
bernilai positif tetapi kecil. Karena secara umum korelasi antar aset akan
bertanda positif , maka set yang efisien yang akan kita peroleh mempunyai
bentuk lengkung seperti bentuk garis antara korelasi 0 dengan 1 pada bagan berikut
ini
4. RISIKO DAN RETURN PORTOFOLIO DENGAN LEBIH DARI
DUA ASET
Perhitungan risiko dan return untuk portofolio
dengan aset lebih dari dua pada dasarnya sama dengan untuk portofolio dengan
dua aset.
Misal terdapat 3 aset yang terdiri dari asset A, B dan C. Diketahui
bahwa:
E(RA) = 9% σA
= 6.04%
E(RB) = 5.25% σB
= 1.69%
E(RC) = 12% σC
= 15%
Berapa tingkat keuntungan yang diharapkan dan
risiko portofilio asset A, B dan C dengan komposisi masing-masing 40%, 30% dan
30%? Misalkan matriks korelasi antara ketiga asset tersebut sebagai berikut
|
|
A
|
B
|
C
|
|
A
|
1
|
-0.96
|
0.20
|
|
B
|
|
1
|
0.15
|
|
C
|
|
|
1
|
Tingkat keuntungan yang diharapkan merupakan
rata-rata tertimban dari tingkat keuntungan asset individualnya.
E(RP) = (0.4 x 9) + (0.3 x 5.25) +
(0.3 x 12) = 9.975%
Formula risiko portofolio dengan tiga aset bisa dituliskan
sebagai berikut ini.
σP2 = XA2 σA2
+ XB2 σB2 + XC2
σC2 + 2 XA XB σAB + 2 XA
XC σAC + 2 XB XC σBC
σP2
= (0.4)2 (6.04)2 + (0.3)2
(1.69)2 + (0.3)2 (15)2 + 2 (0.4) (0.3) (-0.96 x 6.04 x 1.69) + 2 (0.4) (0.3)
(0.2 x 6.04 x 15) + 2 (0.3) (0.3) (0.15 x 1.69 x 15)
σP2 = 26.3
– 2.35 + 4.35 + 0.68 = 28.98
σP = 5.38%
Jika aset dalam portofolio semakin besar,
perhitungan risiko portofolio menjadi semakin kompleks.
Komponen Risiko Portofolio
XA σA
|
XB σB
|
XC σC
|
|
XA σA
|
XA2 σA2
|
XA XB σAB
|
XA XC σAC
|
XB σB
|
XA XB σAB
|
XB2 σB2
|
XB XC σBC
|
XC σC
|
XA XC σAC
|
XB
XC σBC
|
XC2 σC2
|
Risiko total portofolio merupakan gabungan
dari kotakkotak di dalam bagan tersebut. Jika aset dalam portofolio bertambah,
maka jumlah kotak juga semakin bertambah, yang berarti komponen dalam risiko
total menjadi semakin bertambah.
Varians portofolio bisa dituliskan sebagai
berikut ini.
σP2 = ∑ Xi2 σi2 + ∑i ∑j
Xi Xj σij i ≠ j
Dimana:
σP2 = varians portofolio
Xi =
proporsi untuk asset i
σi2 = varians aset
∑ ∑ =
penjumlahan ganda
σij =
kovarians asset i dengan asset j
i ≠ j =
menunjukkan bahwa kovarians i dengan j adalah untuk dua asset yang berbeda
Jika aset dalam
portofolio bertambah, maka komponen yang perlu dihitung dalam portofolio
menjadi semakin banyak.
Jika ada N aset dalam portofolio, maka kita perlu menghitung:
(N (N + 1)) /2 parameter,
yang terdiri dari N varians, dan (N (N - 1)) / 2 kovarians.
Sebagai ilustrasi, jika ada 300 saham dalam
portofolio, dan kita akan menghitung risiko portofolio tersebut, maka kita
perlu menghitung: 300 varians dan 150 (299) = 44.850 kovarians. Jumlah tersebut
cukup besar. Jika jumlah aset dalam portofolio adalah 1.000, maka jumlah
parameter yang harus dihitung menjadi sekitar 500.000 parameter.
Ada dua masalah yang
menyebabkan model perhitungan risiko tersebut tidak bisa diaplikasikan.
Pertama, Model tersebut dikembangkan pada tahun 1950-an, dimana kemampuan
komputer belum sebaik sekarang. Kedua, analis biasanya dikelompokkan
berdasarkan sektor usaha/industri. Mereka biasanya hanya memfokuskan pada
industrinya. Padahal model perhitungan risiko portofolio di atas memerlukan
perhitungan kovarians (kaitan) antar saham, yang berarti juga antar industri.
Dua masalah tersebut menyebabkan model portofolio Markowitz mengalami
perkembangan yang lambat. sampai akhirnya model indeks tunggal dikembangkan
dengan tujuan memecahkan dua masalah tersebut.
5. MODEL INDEKS TUNGGAL
5.1 Risiko dan Return Aset Tunggal Berdasarkan
Model Indeks Tunggal
William Sharpe (1963) mengembangkan model indeks tunggal
(single index model). Menurut model tersebut, return suatu saham/aset
dipengaruhi oleh faktor bersama tunggal, sebagai berikut ini.
Rit = αi + βi Ft + eit
Faktor bersama yang dimaksud, biasanya adalah return pasar.
Dengan kata lain, pergerakan return saham dipengaruhi oleh return pasar.
Berdasarkan observasi, jika kondisi pasar baik maka return saham individual
pada umunya juga baik. Sebaliknya, jika kondisi pasar jelek maka return saham
individual pada umunya juga akan jelek.
Tingkat keuntungan yang diharapkan untuk aset
i bisa dituliskan sebagai berikut.
E(Ri) = αi + βi E(RM)
Menurut model indeks tunggal, total risiko
bisa dipecah ke dalam dua komponen yaitu:
σ i2 = ßi2
σM2 + σei2
(Risiko Total) = (Risiko
yang Tidak Bisa Dihilangkan melalui Diversifikasi) + (Risiko yang Bisa
Dihilangkan melalui Diversifikasi)
Dimana:
σi2 = risiko
total (varians sekuritas i)
ßi = Beta sekuritas i (risiko sistematis
sekuritas i)
σM2 = Varians return pasar
σei2
= Varians error sekuritas i
Persamaan di atas
menunjukkan risiko total bisa dipecah ke dalam dua bagian: (1) risiko yang
tidak bisa dihilangkan melalui diversifikasi (risiko sistematis), dan (2)
risiko yang bisa dihilangkan melalui diversifikasi (risiko tidak sistematis).
Risiko sistematis pada ß (beta saham i).
Model indeks tunggal merupakan pendekatan terhadap model
perhitungan risiko Markowitz. Karena itu hasil yang diperoleh dari model indeks
tunggal bisa berbeda dengan perhitungan secara langsung (dengan Markowitz,
langsung menghitung standar deviasi return aset). Biasanya hasil yang diperoleh
oleh model indeks tunggal cenderung lebih rendah dari perhitungan langsung. Hal
tersebut dikarenakan model indeks tunggal mengasumsikan kovarians antar saham
adalah 0.
Penulisan model
indeks tunggal yang lebih lengkap adalah sebagai berikut.
σi2 = βi2 σM2
+ σei2 + kovarians dengan saham lainnya
Jika kovarians dengan saham lainnya mempunyai nilai negatif,
maka model indeks tunggal akan memberikan hasil yang lebih tinggi dibandingkan
yang seharusnya. Jika kovarians dengan saham lainnya mempunyai nilai positif,
maka model indeks tunggal akan memberikan hasil yang lebih rendah dibandingkan
yang seharusnya. Karena secara umum korelasi antar saham adalah positif, maka
risiko yang dihitung dengan model indeks tunggal akan cenderung lebih rendah
dibandingkan dengan risiko yang dihitung langsung (dihitung langsung
variansnya). Secara umum, perbedaan antara risiko yang dihitung melalui model
indeks tunggal dengan cara langsung, cukup kecil. Sehingga bisa dikatakan model
indeks tunggal cukup akurat.
Model indeks tunggal ditujukan untuk memecahkan masalah perhitungan
risiko dengan model Markowitz. Dengan menggunakan model indeks tunggal, maka
parameter yang perlu dihitung untuk menghitung risiko aset i adalah βi,
σM , dan σei2. Untuk portofolio, ketiga
parameter tersebut yang harus dihitung. Karena itu, untuk portofolio, model
indeks tunggal membantu menyederhanakan perhitungan risiko model Markowitz.
5.2 Return dan Risiko Portofolio berdasarkan Model
Indeks Tunggal
Untuk portofolio dengan N
aset, tingkat keuntungan yang diharapkan untuk suatu portofolio bisa dituliskan
sebagai berikut ini.
E(RP) = αP
+ βP E(RM)
Dimana
E(RP) = Tingkat keuntungan yang diharapkan untuk portofolio
αP = Intercept untuk portofolio
βP = Beta portofolio
E(RM) = Tingkat keuntungan pasar yang diharapkan
Parameter intercept dan beta portofolio
dihitung sebagai berikut ini.
αP = ∑ wi
αP βP = ∑ wi βP
Risiko portofolio menggunakan model indeks
tunggal bisa dihitung sebagai berikut.
σP2 = βP2 σM2 + σeP2
Varians residual portofolio dihitung sebagai berikut
ini.
σeP2 = ∑ wi2 σei2
Misal kita mempunyai
empat saham A, B, C dan D dengan karakteristik sebagai berikut.
αA = 2 βA = 0.9 σeA = 30%
αB = 4 βB = 0.7 σeB = 40%
αC = 3 βC = 1.2 σeC = 25%
αD = -1 βD = 1.5 σeD = 35%
Tingkat keuntungan pasar yang diharapkan 25%
dan standar deviasi 20%. Berapa tingkat keuntungan dan risiko portofolio yang
terdiri dar empat saham tersebut dengan bobot yang sama?
Pertama, menghitung parameter untuk
portofolio:
αP = ¼ (2) + ¼ (4) + ¼ (3) + ¼ (-1) = 2
βP = ¼ (0.9) + ¼ (0.7) + ¼ (1.2) + ¼ (1.5) =
1.075
σeP2 = (1/4)2
(0.3)2 + (1/4)2 (0.4)2 + (1/4)2
(0.25)2 + (1/4)2 (0.35)2 = 0.027
Tingkat keuntungan ynag diharapkan dan risiko
portofolio bisa dihitung sebagai berikut:
E(RP) = 2 + 1.075 (25%) = 28.88%
σP2 = (1.075)2 (0.2)2 + 0.027
= 0.073
σP =
(0.073)1/2 = 0.27 atau 2.7%
Dengan menggunakan model indeks tunggal,
tingkat keuntungan yang diharapkan dan ridiko portofolio adalah 29% dan 27%.
Misalkan kita mempunyai portofolio yang
terdiri dari N aset, berapa parameter yang harus dihitung? Parameter yang harus
dihitung adalah:
Jumlah Parameter = N αP
+ N βP + N σei2 + 1 σM2
+ 1 E(RM)
Jumlah parameter dari model indeks tunggal
jauh lebih sedikit dibandingkan dengan model Markowitz. Model indeks tunggal
merupakan penyederhanaan yang sangat signifikan dari model Markowitz. Disamping
itu model indeks tunggal tidak memerlukan estimasi kovarians (kaitan) antar
saham atau sektor. Yang diperlukan adalah estimasi kaitan antara satu saham
(sektor) dengan sektor secara keseluruhan (pasar).
Perhitungan varians dan kovarians bisa
dihitung melalui formula berikut ini.
Dimana
Ri¯ dan Rj¯ = Return rata-rata untuk aset i dan j
N = Jumlah observasi
Perhatikan bahwa dalam formula di atas pembagi
yang dipakai adalah N - 1. Hal ini disebabkan kita menggunakan sampel, dan
untuk menghindari bias dalam estimasi dengan sampel, pembagi N - 1 (bukannya N)
yang digunakan.
ok
BalasHapus